Valós számok — Cantor-féle felépítés

A valós számok bevezetésére (legalább) két módszer van. Mindkettő igen hosszadalmas, ezért a Cantor-féle felépítést csak nagyon vázlatosan (és bizonyítások nélkül) ismertetjük; a Dedekind-féle felépítést részletesebben tárgyaljuk majd.

A Cantor-féle felépítés alapgondolata az, hogy minden valós szám megkapható racionális számokból álló sorozat határértékeként. De hogyan mondjuk meg egy sorozatról, hogy konvergens, ha pl. $\pi$-hez konvergál, és mi még csak a racionális számokat ismerjük? Erre szolgál a Cauchy-féle kritérium, ami egy belső konvergenciakritérium: csak a sorozat tagjait használva (a határértékre való hivatkozás nélkül) mondja meg, hogy konvergens-e a sorozat. A valós függvénytanban ez egy tétel, mi viszont a valós számok definiálására használjuk.

   Egy racionális számokból álló $\{ r_n \}$ sorozatot akkor nevezünk Cauchy-sorozatnak, ha $$\forall \varepsilon \in \mathbb{Q}^+ \ \exists n_0\in \mathbb{N} \ \forall n,m \geq n_0 \colon\; |r_n-r_m|\lt \varepsilon.$$ A racionális Cauchy-sorozatok halmazát $A$-val jelöljük (ez lesz az alaphalmazunk).

Az összeadás és a szorzás természetes módon definiálható sorozatokra (tagonként), de még meg kell mondanunk, hogy mikor „akar” két racionális sorozat ugyanahhoz a (még nem létező) valós számhoz konvergálni. Nyilván akkor, ha a különbségük nullához konvergál (ezt tudjuk értelmezni, mert $0$ racionális szám). Bevezetünk erre egy elnevezést és egy jelölést.

   Egy racionális számokból álló $\{ r_n \}$ Cauchy-sorozatot akkor nevezünk nullsorozatnak, ha $$\forall \varepsilon \in \mathbb{Q}^+ \ \exists n_0\in \mathbb{N} \ \forall n \geq n_0 \colon\; |r_n|\lt \varepsilon.$$ A nullsorozatok halmazát $I$-vel jelöljük (aki már tanult faktorgyűrűkről, az sejtheti, hogy miért).

Most már készen állunk arra, hogy megkonstruáljuk a valós számok testét.

   A racionális Cauchy-sorozatok $A$ halmazán definiáljuk az összeadás és a szorzás műveletét, valamint a $\sim$ relációt a következőképpen. Tetszőleges $\{ r_n \}, \{ s_n \} \in A$ esetén
  
  1. Az $A$ halmaz zárt az összeadásra és a szorzásra, és $(A;+,\cdot)$ kommutatív egységelemes gyűrű.
  2. A $\sim$ reláció kongruenciája az $(A;+,\cdot)$ gyűrűnek.
  3. Az $(A;+,\cdot)/\!\sim$ faktorgyűrű test.
   Az $(A;+,\cdot)/\!\sim$ faktortestet a valós számok testének nevezzük és $\mathbb{R}$-rel jelöljük.
   A $\sim$ kongruenciával való faktorizálás nélkül nem kapnánk testet, sőt még integritástartományt sem, ugyanis az $(A;+,\cdot)$ gyűrűben vannak zérusosztók (HF).

Hogy a valós számok teste kibővítése legyen a racionális számok testének, meg kell adnunk egy $\mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ beágyazást. Ezt könnyen megtehetjük a konstans sorozatokkal. (A konstans $r$ sorozatot $\{ r \}$ jelöli, a $\sim$ szerinti ekvivalenciaosztályt pedig szokás szerint felülvonással jelezzük.)

   Az alábbi $\varphi$ leképezés beágyazás: $$\varphi\colon\ (\mathbb{Q};+,\cdot) \to (\mathbb{R};+,\cdot), \; r\mapsto \overline{\{ r \}}.$$

Végül meg kell adnunk a valós számok rendezését, amihez a pozitív és negatív valós számokat kell definiálnunk. Itt az alapötlet az, hogy egy sorozat akkor és csak akkor konvergál pozitív (negatív) határértékhez, ha valahonnan kezdve minden tagja egy pozitív korlát fölött (negatív korlát alatt) marad.

   A pozitív és a negatív valós számok halmazát a következőképp definiáljuk: $$\overline{\{ r_n \}} \in \mathbb{R}^+ \iff \exists t \in \mathbb{Q}^+ \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ \forall n \geq n_0 \colon\; r_n \geq t, \qquad \overline{\{ r_n \}} \in \mathbb{R}^- \iff \exists t \in \mathbb{Q}^- \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ \forall n \geq n_0 \colon\; r_n \leq t $$
   $\mathbb{R}=\mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{R}^-$, és ez a három halmaz páronként diszjunkt.
   Tetszőleges $x,y \in \mathbb{R}$ esetén legyen $x \leq y$ akkor és csak akkor, ha $y-x \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$.
  
  1. A fent definiált rendezéssel $\mathbb{R}$ lineárisan rendezett test.
  2. Ez az egyetlen kompatibilis lineáris rendezése a valós számok testének.
  3. Az $\mathbb{R}$-en definiált rendezés kiterjesztése a $\mathbb{Q}$-beli rendezésnek.
   Meg lehet mutatni, hogy $\mathbb{R}$ arkhimédeszi test, azaz minden valós számnál van nagyobb természetes szám, és Cauchy-teljes, azaz minden valós számokból álló Cauchy-sorozatnak van határértéke. (Arkhimédeszi testekkel és a teljesség különböző fogalmaival később foglalkozunk majd.)